|z1+z2+z3+....+zn|<=|z1|+|z2|+...+|zn|

我也许只能解释，不能严格证明。。。
首先，我想说你的z1,z2都是什么呢，我先理解为实数，那么通过观察数轴，就有：如果z1,z2同号或者有一个为0，那么|z1+z2|=|z1|+|z2|，如果z1,z2异号，那么显然有|z1+z2|≤|z1|+|z2|，所以对任意的实数z1,z2,有|z1+z2|≤|z1|+|z2|，推广一下的话就是|z1+z2+z3|≤|z1+z2|+|z3|≤|z1|+|z2|+|z3|，以此类推，推广到n，就是|z1+z2+z3+....+zn|<=|z1|+|z2|+...+|zn|
好了，就是这样，不过你写了z，就不免让我想到复数。其实也是一样的，复数可以看成一维的数轴到二维平面的推广。在复数范围内，如果z1,z2方向平行，那么就和一维的数轴一样了。如果不平行，那么利用三角形两边之和大于第三边，也可以得到|z1+z2|≤|z1|+|z2|，继而推广，也能得到最终结论。